質問:
なぜ同値類はセットではなくクラスと名付けられたのですか?
evenodd
2020-03-28 01:07:00 UTC
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$ R \ subseteq A \ times A $ span>が同等の関係(つまり、で推移的な関係)の場合$ A $ span>、対称、推移的)、次に各要素 $ x \ in A $ span>について、サブセット $ [x] _R = \ {y \ in A:\ langle x、y \ rangle \ in R \} $ span>の $ A $ span>は $ A $ span>の等価クラスと呼ばれます。集合論では、品詞は通常、必ずしも集合ではない要素のコレクションを指します。 $ [x] _R $ span>が同等セットまたは同等サブセットと呼ばれなかったのはなぜだろうか。

参考までに、「集合」と「クラス」の現在のほとんど標準的な区別を持ち出すことは、1940年代以前にそのようなことを認識したり気にかけたりした数学者はおそらくほとんどいないため、少し歴史的だと思います。コーエンの集合論が機能し、圏論の出現によってこの区別がより主流になった1960年代半ばまでではないかもしれません。これ以前は、「クラス」は「コレクション」のように使用されていた可能性があります。つまり、グループ要素の集合とサブグループの集合を区別したい場合のセットの代替語として使用されていました。 **(続き)**
また、群論における「クラス方程式」という表現は、20世紀初頭(おそらく19世紀まで。私はこれを調査していません)にさかのぼります。したがって、「クラス」の使用は、単にその使用法から派生している可能性があります。
@DaveLRenfroフォンノイマンは1920年代後半にいくつかの代数的文脈で「同値類」を使用し、1925年に集合/クラスの区別を明示的に導入しました。ウェーバーは1891年に「クラスフィールド」を導入しました。セットへの移行は、重要な基本的なコンテキストで発生し、既存の使用法を維持する具体的な領域が優先されました。
1 回答:
Conifold
2020-03-28 01:58:48 UTC
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同値関係の歴史と関連する用語の詳細な説明の1つは、 Historia Mathematica に関するFowlerの投稿に主に基づいた、 Equivalent:A Attempt at a History of the Idea by Ashgariです。 >フォーラム。用語は長い間作成されており、「同値関係」は「同値類」よりもはるかに早く現れました。情報源もアシュガリも「階級」の選択が好まれた理由に直接答えていませんが、考えられる理由について1つの手がかりがあります。

「同値関係」がJourdainによって抽象的に命名される前でさえ、特定の用途「同等性」とそのクラスの数は顕著であり、その後しばらくの間その状態が続きました。それは、等効力またはカーディナリティによる集合の同等性であり、その関係は、ヒュームによって導入され、カントールによって普及した、それらの間の全単射対応の存在です。この場合、(同じカーディナリティを持つすべてのセットの)同値類はそれ自体がセットではありません。 これはパラダイム的な例のように思われたので、抽象的な用語が確立されるまでに、著者はすでに聞いていた単語の組み合わせを好んでいた可能性があります。このように、カーディナリティの場合、「等価セット」はセットではないことを説明する必要はありませんでした。

フォンノイマンは1925年に集合論に集合/クラスの区別を明示的に導入しました(これは集合論公理化NBGの基礎となり、クラスレスZFCの代わりになりました)が、1926年と1929年に彼はそれにもかかわらず、いくつかの代数的文脈における表現「同値類」。カーディナリティとは別に、代数の「クラス」を含むいくつかの既存の用語がありました。ウェーバーは1891年に「クラスフィールド」を導入しました。ミラーの最も初期の既知の使用法を参照してください。グループ文字に関する論文のジョーダンは「共役置換のクラス」(共役クラスになる)について話しました。したがって、クラスからセットへの用語の移行は、それが重要な場合には狭くしか起こらなかったようであり、すでに確立されている場合は古い用語が一般的に好まれました。

アシュガリからのいくつかの関連する節があります:

"私は、反射的、対称的、遷移的な関係を等形関係と呼びます。PhilipJourdain(1912)は、同形関係と不合理な数の理論に関する彼の記事を第5回国際会議に発表しました。当時、「抽象化による定義」(ラッセル1903、pp。219-220)のプロセスは非常に確立されていましたが、「同等性」という用語は主に枢機卿番号の文脈に付けられていました。 ... 1919年までに、「等価関係」の組み合わせもnまたは「同値類」が使用されていました。

HöhereAlgebraの初版の第1章のÄquivalenzrelationenundKlasseneinteilungenのセクションの下で、Hasse(1926)は次のように書いています。そのような分解は $ M $ span>のパーティションであり、それによってサブセットがそのクラスを決定しました。 (Hasse 1954、p。22; Higher Algebraは、1933年に発行されたHöhereAlgebraの第3版の英語訳です)

Mengenlehreの第3版(Hausdorff 1914;第3版は1937年に発行され、その後1957年に英語の集合論として発行されました)では、同等という用語は依然としてカーディナリティのコンテキストにのみ関連付けられています。 1942年でさえ、同値関係の理論というタイトルの論文で、オイスタイン・オレはそれらを「パーティションのブロック $ P $ span>」と呼んでいました(オレ1942、p.574 )

Von Neumann(1926、1929)、Hopf(1930)、およびSeifert and Threlfall(1934)は、「Äquivalenzklasse」、von Neumann(1936)「同等性」という用語を使用しました。 -class」(ハイフン付き)およびSolomon Lefschetz(1938、1942)「同等クラス」(ハイフンなし)。この用語は、特定のコンテキスト化された同等性によって構築されたクラスを示すためのものであり、いずれも「同等性関係」とは呼ばれていませんでした。さらに、これらの著者のいずれも、一般的な用語で、そして彼らが働いていた文脈の外で「同値類」を定義する義務を感じていませんでした。

基本的な扱いは最初に見られますトポロジーにおけるTukeyの収束と均一性の章(Tukey 1940、p。4)では、「同値関係」と「同値類」の組み合わせが同じ場所に表示されます...一般的には、組み合わせイオンの「同値類」は「同値関係」よりもはるかに遅れて一般的になりましたが、1950年に近づくと、両方の組み合わせが互いに並んで明確に使用されていることがわかります。 "



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