質問:
ODEに対するオイラー法のオイラー導出
user14717
2019-05-26 20:42:09 UTC
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オイラー法によるODEのオイラー法の英語訳、つまり更新 $$ y_ {n + 1} = y_n + hf(y_n、t_n)$を探しています。 $ span>オイラーがこの問題を検討する動機は何でしたか。また、彼はどのようにアイデアを発展させましたか?

彼の動機は明らかではありませんか?オイラーは微分方程式を数値的に解きたいと考えていました。彼が考えたのは、問題の最も素朴で即時の離散化です。
私はそれより少し多くを望んでいました。それは天体力学でしたか?なぜ彼は現在の分析手法を超える必要があると感じたのですか?
オイラーによってよく理解されているのは経験的事実であるため、ほとんどの微分方程式を「分析的に」解くことはできません。それは閉じた形です。
1 回答:
Conifold
2019-05-27 12:30:50 UTC
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オイラーの動機は特に問題ではなく、解析解が見つからなかったときに微分方程式を解く一般的な必要性でした。彼は、積分計算に関する彼の教科書である Institutionum Calculi Integralis(Foundations of Integral Calculus、1768)の第I巻のセクション2、第VII章で、この方法を一般的な形で説明しています。これは、セクション1、第VII章で説明されている段階的な数値積分の方法に厳密に従います。彼が考える例は、現代の表記法 $ y '= \ frac {a ^ 2} {x ^ 2-y ^ 2} $ span>での例示です。

この章のタイトルは「Deintegrationeaequationumdifferentium perapproximationem」(微分方程式の近似積分について)です。関連部分の英訳と解説は、オイラーの言葉でのジャルダンのオイラー法にあります(オイラーに注意してください)。 $ \ partial $ span>を使用します。ここで、 $ d $ span>)を使用します:

"変数のペア $ x $ span>と $ y $ span>は整数で表示されます $ \ frac {\ partial y} {\ partial x} = V $ span>の形式の関数、関数 $ V $ 自体は $ x $ span>と $ y $ span>の関数です。完全な積分が必要です。 $ x $ span>に特定の値 $ x = a $ span>が割り当てられている限り、他の値は変数 $ y $ span>は指定された値 $ y = b $ span>を取ります。したがって、私たちの主な目標は $ y $ span>の値。これにより、 $ x $ span>が $ a $ span>、または $ x = a + \ omega $ span>と仮定すると、 $ y $ span>。 $ \ omega $ span>は非常に少量であるため、 $ y $ span>自体の値は最小限になります。 $ b $ span>;したがって、 $ x $ span>は $ a $ span>から $ a + \ omega $ span>の場合、数量 $ V $ span>を定数と見なすことができます。

$ x = a $ span>と $ y = b $ span>を指定すると、 $ V = A $ span>が少し変更されたため、 $ y = b + X(xa )$ span>、もちろん定数が追加されるため、 $ x = a $ span>の場合は $ y = b $ span>。したがって、初期値 $ x = a $ span>と $ y = b $ span>が与えられると、次の近似値が得られます。値 $ x = a + \ omega $ span>および $ y = b + A \ omega $ span>であるため、小さな間隔で同様の方法でさらに進み、最終的には以前の値から希望する距離に到達します。 "

オイラーは問題を認識していました。彼がコロラリー2で明示的に言及しているこの方法でのエラーの蓄積を伴う:

"より小さな間隔が取られ、それを通して $ x $ span>は繰り返し進行するため、一度に1つずつより正確な値が取得されます。ただし、一度に1つずつコミットされたエラーは、たとえ非常に小さい場合でも、多数あるために蓄積されます。 "

これを追跡していただきありがとうございます。当然の結果2は彼の方法を不安定であると特定し、結果3はこの不安定性の原因を制御されていない変動として説明するものまで追跡していたようです。現代文学のかなり良い要約!


このQ&Aは英語から自動的に翻訳されました。オリジナルのコンテンツはstackexchangeで入手できます。これは、配布されているcc by-sa 4.0ライセンスに感謝します。
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