質問:
定数係数を持つ線形微分方程式の指数仮説を発明したのは誰ですか?
MrYouMath
2016-05-17 03:26:47 UTC
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定数係数を持つ線形微分方程式を解くための仮説として$ e ^ {\ lambda t} $を使用して発明したのは誰ですか?

1 回答:
Conifold
2016-05-17 04:36:24 UTC
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簡単な答えはオイラーです。詳細については、ハルドの確率と統計の歴史と1750年以前の応用(p.438)からの次の長い引用に記載されています。

1743年オイラー$ y = c \、e ^ {rx} $の形式の特定の解を推測し、特性を導出することにより、定数係数を使用して(de Moivreと同じアイデアを使用して)m次の同次線形微分方程式を解きました。 $ m $次の代数方程式としての方程式。彼は、一般的な解決策は、$ m $の独立した特定の解決策の線形結合になるだろうと指摘しました。彼が(不完全に)実数係数の多項式を実数係数の線形および二次因子に分解できることを証明した1年前、彼は特性方程式が常に$ m $の根を持つと主張することができました。彼は、単一の実根の特定の解が$ y = c \、e ^ {rx} $の形式であり、多重度$ k $の実根の場合、$ e ^ {rx} $に$の多項式を掛けた形式であることを発見しました。次数$ k $のx $であり、共役複素根のペアの場合、$ y = e ^ {ax}(c_1 \ cos bx + c_2 \ sin bx)$の形式になります。ここで、$ c_1 $と$ c_2 $は任意の定数です。 。

1753年、オイラーは、次数を1ずつ減らして問題を連続的に減らす方法を考案することにより、定数係数を使用して$ m $次の不均一な微分方程式を解きました。一次の不均一微分方程式の解へ...

1760年代に、ラグランジュはオイラーの1753定理が$ m $の不均一微分方程式にも当てはまることを証明しました。 -一般的な解が1次の同次方程式の解と隣接方程式の解によって表現されるように、可変係数を持つ3次。

正当化は明らかに代数の基本定理に依存しており、従来の通念によれば、オイラーの推論には取り返しのつかないギャップがあり、ガウスによって埋められました。厳格さの制限によっては、ガウスでさえ非難を超えない場合があります。ダンハムのオイラーと代数の基本定理を参照してください。

一般的な均一解と特定の解の合計としての一般的な不均一解のオイラーラグランジュ表現は、線形性の直接的な結果として今日認識されています。これは、劣決定線形システムに対する解の一般的な形式です。しかしもちろん、この洞察は彼らの時代にはまだ利用できませんでした。 パラメータの変化として知られるようになった特定の解を見つける方法は、1748年にすでに特定のケースでオイラーによって使用されましたが、1808年から1810年にラグランジュによって最終的な形が与えられました。 。オイラーとラグランジュはどちらも、惑星と月の楕円軌道の摂動に関連する方程式を解いていました。

「_一般的な同種および特定のソリューションの合計としての一般的な非同種ソリューション_」[1697年のJeanBernoulli](https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/2/)による洞察ではありませんでしたパーカー-CMJ-2014.pdf)(彼の「パラメータの変化」の方法)?
@Geremia正確ではありません。ベルヌーイの方程式は非線形であり、一般的な解は合計ではなく、部分解の積です。著者はまた、線形の場合、ラグランジュの特定の処方箋としてではなく、何らかの形でパラメータを変化させる場合のように、「パラメータの変化」を一般的に使用します。


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