質問:
虚数が当時(18世紀)に受け入れられるようになったのは、どのような数学的発展/発見でしたか?
Tom Au
2014-10-29 04:42:14 UTC
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虚数に関するWikiの記事では、「虚数の使用は、レオンハルトオイラー(1707–1783)とカールフリードリヒガウス(1777–1855)の研究まで広く受け入れられていなかったと主張されました。 )。 "

虚数の理論に対するオイラーとガウスの貢献の動機は何ですか?たとえば、オイラーが後にドモアブルの定理につながる式を作成したことは知っていますが、その理由はよくわかりません。そして、彼らの生活はほとんど重なっていないのに、なぜ「中間」でオイラーからガウスまでの「バトン」を拾わなかったのですか?

(皮肉なことに、虚数を嘲笑したルネ・デカルトが「デカルト」を設立しました( 2x2)虚数もグラフ化される平面に平行な座標系。これは、「偶発的な」寄与の場合である可能性があります。)

小さな落とし穴:ドモアブルの定理は、実際にはオイラーの等式よりも前のものです。オイラーの等式は、ド・モアブルの定理を証明するために必要ではありませんが、証明を大幅に簡素化します。
これに関する良い参考資料は、TristanNeedhamの本* Visual Complex Analysis *の最初の章と、Stillwellの* Mathematics and its History *の複素数に関する章です。
三 答え:
Danu
2014-10-29 05:11:05 UTC
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複素数の最初の真剣な使用法は、2次、3次、および4次多項式の根を見つけることです。カルダノは、アルスマグナ(1545)で、二次方程式が(正式には)複素根を持つ可能性があることを最初に示しましたが、彼はそれを呼んでいませんでした。彼は、それらは「役に立たないのと同じくらい微妙である」と述べた。ボンベリの代数テキスト(1572)で、彼は複素算術の規則を開発し、中間結果が架空のものであっても、カルダノの3次式が実際の解につながる可能性があることを示しました。ちなみに、 $ i = \ sqrt {-1} $ span>という表記は、 'のよくある間違いを防ぐためだけに開発されたと何度も言われています。証明 ' $$(\ sqrt {-1})^ 2 = \ sqrt {(-1)^ 2} = \ sqrt {1} = 1 $$ span>

18世紀初頭に達成された重要な洞察は、複素数と幾何学の間の深いつながりです。 $ i $ span>を使用して、多くの三角関数公式を簡略化できることが観察され、1748年にオイラーは彼の有名で美しい式を発見しました。 $$ e ^ {it} = \ cos t + i \ sin t $$ span>(派生は、今日の教科書で通常提示されているものとはかなり異なっていました。シリーズのこのエントリを参照してください。 オイラーのやり方。)

平面内の点としての複素数の概念は、注目に値するもう1つの発見です。この構造はすでに 1799年にウェッセルによって使用され、アルガンドによって独自に再発見されましたが、ガウスが複素数に関する論文を発表したときに本当に人気がありました。この本はまた、複雑な分析で使用される現代の表記法と用語の多くを確立しました。

ところで、これがウェッセルのオリジナルの論文です。 http://books.google.com/books?id=8jIyAQAAMAAJ&pg=PA336&dq=Nye+samling+af+det+Kongelige+danske+videnskabernes+selskabs+skrifter&hl=en&sa=X&ei=Z0FwVMHDIbHmsASa04GQCg&ved=0CB8ここ:http://books.google.com/books?id = idM6nvbz9xgC&printsec = frontcover#v = onepage&q&f = false
$ i $が導入された理由については、別の考えられる説明があります。この重要な数学定数は、$ e $や$ \ pi $などの標準的な名前に値すると感じられました。回答に記載されている説明はウィキペディアに記載されていますが、* [要出典] *と記されています。
Alexandre Eremenko
2014-10-29 07:12:58 UTC
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ダヌの答えを補足するだけです。 16世紀以降、複素数を使用する人もいましたが、その後(18世紀の終わりに)数人(アルガンド、ベッセル、ガウス)が幾何学的解釈を発見したときに、WIDEが受け入れられました。

これは明らかに重要なステップ。それでも、それらは普遍的に認識されていませんでした。彼らは、チェビシェフでさえそれらを使用したことがないと言います。

重要な可能性のある別のイベント:19世紀初頭、物理学者がそれらを使用し始めました(フレネル)。

Frenelについて:参考資料はありますか?ジェド・ブッフヴァルトの非常に包括的な*光の波動理論の台頭*では、フレネルによる複素数の使用は見つかりませんでした。フレネルはサインとコサインに固執しているようです。
フレネルを読んだことがありません。おそらくこの情報はウィテカー、エーテルと電気の理論の歴史から来ていますが、私はチェックする必要があります。具体的には、全反射について話します(ウィキペディアを参照)が、ウィキペディアでの派生がフレネル自身のものであるかどうかはわかりません。
timur
2017-09-28 08:08:41 UTC
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3次多項式の根の計算の必要性とは別に、17世紀に初めて認識され始めた、多項式で複素数が果たすもう1つのより基本的な役割があります。この役割は代数の基本定理は、複素数を根にする場合、非定数多項式には少なくとも1つの根があることを示しています。つまり、$ a_0、a_1、\ ldots、a_n $が次のような実数の場合です。 $ a_1、a_2、\ ldots、a_n $の少なくとも1つがゼロ以外の場合、方程式\ begin {equation} \ label {e:polynomial-x-0} p(x)= a_nx ^ n + a_ {n- 1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_1x + a_0 = 0、\ end {equation}には、$ x $の値が複素数である場合に限り、解決策があります。$ a_1 = a_2 = \ ldots = a_n = 0 $の場合の場合、方程式$ p(x)= 0 $は$ a_0 = 0 $になり、$ a_0 \ neq0 $の場合、(複雑な)解はありません。したがって、$ a_1、a_2、\ ldotsの少なくとも1つが、a_n $がゼロ以外(つまり、$ p(x)$が非定数)は、この些細なケースを除外するだけです。基本的な定理複素数は任意の2次方程式を解くように設計されているため、代数の数は奇跡的です。また、多項式の次数を増やすたびに、新しい種類の「数」を導入する必要があると考えられます。 代数の基本定理の最初の定式化は、1629年にAlbert Girard(1595-1632)によって与えられましたが、彼は証明を試みませんでした。実際、この定理の厳密な証明は、19世紀初頭まで現れませんでした。複素数の存在と有用性が広く受け入れられた時代の始まり。

複素数の存在と重要性に関する疑問は、複素解析の開発後に完全に破棄されました。、これは関数理論としても知られています。複素変数の関数を研究する最初の動機は、それらを使用して実際の確定積分を計算(または単純化)することでした。 この方向での先駆的な仕事は、1760年から1780年頃にオイラーとジョセフ=ルイ・ラグランジュ(1736-1813)によって行われ、彼らの研究は1810年代後半にオーギュスタン・ルイ・コーシー(1789-1857)によって取り上げられ、1821年までに複素関数には独自の豊富な理論があります。ガウスは1811年に同じ理解に達し、複素数の普及に大きな役割を果たしましたが、複素解析の開発には直接貢献しませんでした。したがって、およそ1820-1850年の間にコーシーは、1843年にピエールアルフォンスローラン(1813-1854)によって提出された論文に最初に登場したローランシリーズを除いて、複雑な分析のすべての基本的な結果を独力で開発しました。



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