質問:
リーマンの前に住んでいたヤコビは、リーマン幾何学で彼にちなんで名付けられた方程式と定理と何の関係がありましたか?
Ryan Unger
2016-09-15 09:11:54 UTC
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リーマン幾何学では、ヤコビにちなんで名付けられた2つの非常に重要なものがあります。ヤコビ方程式$ J '' = R(\ gamma '、J)\ gamma' $と、測地線が過去の共役点を最小化しないことを示すヤコビの定理です。なぜヤコビの名前がこの方程式と定理に付けられているのですか?

1 回答:
Conifold
2016-09-16 05:57:29 UTC
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これは、リーマン幾何学が変分法の一部に遭遇する唯一の場所であることが多い現代の説明を考えると、自然な問題です。そして、歴史的な秩序が現代の博覧会の秩序に従うことはめったにないことを思い出させてください。ヤコビの方程式、条件、フィールドなどは、リーマン幾何学に固有のものではなく、$ \ int_a ^ bf(x、y、y ')\、dx $、のような変分法の古典的な変分法における汎関数の2番目の変分法に関連しています。測地線問題の弧長汎関数は、特定のケースにすぎません。これらは、最速降下曲線以来、主要な数学者の目の前にありました。

ファーガソンによる変分法の歴史とその応用に関する簡単な調査によると、 、レジェンドレは1786年に、変分法でマキシマとミニマを区別する方法についての回想録を発表しました。彼は、最小化には必ず$ f_ {y '、y'} \ geq0 $、最大化には$ \ leq0 $を示しました。半世紀後、ヤコビは「その簡潔さと曖昧さで注目に値する論文で」、補足的な十分条件を与えました。$ f_ {y '、y'} >0 $と$ b $は$ a $に近いです$ a $の最初の共役点より。論文「変分法と微分方程式の理論について」(1836年)

"は非常に簡潔だったため、厳密な証明は与えられず、代わりにほのめかされました。ある数学の歴史家は、ヤコビは知的優先順位を確保するために最初に結果を発表しようと急いでいました。この分野の進歩は半世紀停滞していたため、そのような理論に同意することは困難です! "

したがって、さらに半世紀後、リーマンの幾何学はヤコビの結果を適用するための自然な場所になりました。 「1人の歴史家」はゴールドスタインです。詳細については、彼の 17世紀から19世紀までの微積分学の歴史をご覧ください。

ヤコビの方程式は、現代版にちなんで名付けられたものですか(おそらく彼はそれに似た方程式を持っていました)?
@0celo7リンクの下に複製されていますが、ここにコピーするには面倒です。ヤコビには、洗練された現代的な記譜法の利点がありませんでした:)


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