質問:
ユークリッド原論と綜合幾何学が不利に陥る原因または原因は何ですか?
user6918
2018-03-01 01:00:09 UTC
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ユークリッド原論は、これまでに書かれた本の中で最も長く、最も有名な出版の歴史を持っていると宣伝することができます。紀元前300年に最初に書かれたユークリッド原論は、貴族や一般の人々が1800年代に数学を学び、2000年余り使用するための標準的なテキストになりました。本のために作成できるほぼすべてのメトリックについて、Elementsは一貫して1番目または2番目に配置されます(聖書のみ)。

今日、それはめったに見られたり使用されたりしません。合成幾何学自体は消えていません(ただし、それと同じ量のスポットライトは得られません)。幾何学は今日でも小学校で教えられていますが、これは数版しか見られない現代の教科書から頻繁に教えられています(そして私はそれらをより「読みやすい」とはほとんど言いません)。

なぜ、またはどのように、Elementsは使用から衰退しましたか?

私が持っているいくつかの疑いは次のとおりです:

  1. Hilbertは彼のGrundlagenderを公開しました1899年の幾何学では、ユークリッドの公理の穴にスポットライトを当てたさまざまな公理の概要を説明しました。

  2. 啓蒙主義は、幾何学を数学における中心的な役割から遠ざけ、微積分学とその後の分析部門を支持しました。

  3. ol>

    これらは何らかの形で貢献していると確信していますが、Elementsの衰退のストーリーを作成するために実際に融合するわけではありません。人類にとって文化的に非常に重要なこのような作品については、はるかに優れた賛辞に値すると思います。

二 答え:
Conifold
2018-03-01 07:42:40 UTC
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幾何学における合成法と解析法の争いは、ヒルベルトや微積分学よりも前からあります。その起源は、解決策を合理化した幾何学問題のビエタの代数的変換にまでさかのぼることができます。ビエテの関連性とオイラーとの関係を参照してください。デカルトの解析幾何学におけるそれらの体系化。しかし、微積分の台頭、そして最終的にはデデキンド、カントール、フレーゲ、パッシュ、ヒルベルトなどによる数学の算術化と論理化は、確かに取引を封印しました。 2つのスタイルの数学的思考の間のオープンな競争の初期のエピソードは、その特定の凶暴性のために興味深いものであり、神の幾何学のマッツォッティによって説明されています。対立は19世紀の前半にナポリで起こりました。分析はより現代的でリベラルな傾向があり、科学と実践的な問題における数学の役割を強調していました。シンセティックスは保守的な伝統主義者であり、分析を(原文のまま!)「道徳的に堕落した」、「反科学的」、そして若い学生の心を「破壊する」と見なしていました。ベンチュラが1824年にそれを述べたように:

"科学の中で、数学的なものはより誤った悲惨な方向を向いたものです。彼らは最初に暴行に含まれました。キリスト教に反対する哲学者たちの…;彼らは不信と誇りの手にある致命的な武器になりました;彼らはすべての拘束を破りました;彼らはすべての情熱を解き放ちました;彼らは社会と秩序の基盤を侵食しました "。

これは、2つのアプローチの長所と短所を比較したMazzottiのより測定されたものです。

"合成方法は具体的です。解決する必要のある問題はすべて異なる構造を必要とします。したがって、ジオメトリにはスキル、知識、経験が必要であり、これは長いトレーニングによってのみ習得できます。この方法は直感に依存しています。幾何学者は、特定の問題に最も適した構造を選択する必要があります。要求は厳しいものの、合成法は、数学における唯一の自然で健全な推論方法であると支持者によって保持されました。彼らは、操作が幾何学的に幾何学的に従属するだけでなく、はるかに複雑で直感に反します。

分析方法は一般的です。すべての問題は方程式の形で記述し、解決することができます。同じ手順を踏むことで、「問題の方程式」を解くことで、考えられるすべての解決策を機械的に得ることができます。ジオメトリの直感に任せることはできません。分析では、この方法は「簡単」で「メカニズム」であることが強調されました。 l」と簡単に学ぶことができます。方程式を定式化して解くのに多大な工夫が必要になることが多いという事実は、本質的な問題とは見なされませんでした。重要なのは、分析の「帝国」を幾何学の分野に拡張することが可能であり、問​​題解決手順を完全に機械的にするため、実際に望ましいことを示すことでした。 "

政治的な逆風にもかかわらず、古い学校の創意工夫と繊細さに対する将軍と機械の人気の勝利は驚くべきことではなく、他の場所での複製でもありません。論争は、「シンセシス」と「 19世紀の数学の大リーグのアナリスト」については、数学の「アナリスト」と「シンセシス」は誰ですか?を参照してください。ナポリの議論の重要人物の1人であるパドゥラは、今日作られることを想像できます

"ラグランジュの「代数解析」のおかげで、パデュラは続けます。「数理科学は、哲学者が求めていた原則の統一にようやく縮小されました。」パデュラは、学生がで書かれた作品を読めるようにすることの重要性を強調しています。できるだけ早く「新しい言語」。この目的のために、彼は分析幾何学のフランス語と北イタリアの教科書の使用をサポートします。これらは円錐形のセクションでより伝統的な合成教科書を置き換える必要があります-「文明化された」国では「幾何学的抽象化」の研究は、学生に「数学の現代の発展」と「社会が芸術、製造、産業への数学の応用から得ることができる莫大な物質的利点を紹介しない」と彼は主張します。 。 ""

すでに述べたように、19世紀末の厳格さへのストレスは、合成手法への不満を増すだけでした。しかし、ユークリッドの方法に関する最近の研究では、ヒルベルト流の公理的推論に還元できない信頼性を維持するためのリソース(図の非推論的使用など)があり、ヒューリスティックと組み合わせて、新しい結果を開発するのにはるかに効果的であることが明らかになりました。既知のものの公理的組織とは対照的に。これは、古典的な幾何学を超えた同様の考え方のアプローチの刺激的な開発は別として、数学の実践と教育ツールのモデルとしてそれを面白くします。 ロダンの公理的方法とカテゴリー理論。ユークリッドの合成法の研究における最近の古典は、マンダースのユークリッド図(マンコース編集巻で公開、無料で入手可能)です。その序文で、彼は合成物を避けるために認識された理由に取り組み、評価します:

"ある学生は、明らかに現代の論理的説明の美徳における熱心な指導の恩恵を受けており、最近、数学的な正当化としてのユークリッド実証の研究を地球平面説の研究と比較しました。地球平面説の現代のプレートテクトニクスへの貢献を判断すると、これは少なくとも2つの不満を表していると思います...ユークリッドの図に基づく推論は信頼性が低く、正当に不十分であり、時代遅れの議論の伝統の研究は利益を得ることができないということです数学の哲学。これらを順番に見てみましょう。

図に基づく評価は、いくつかの理由で信頼できないと考えられています。描かれた図は不完全であり、たとえば、線は完全に真っ直ぐではありません。それにもかかわらず、線セグメントの真直度または同等性の人間による評価は不完全です。さらに、幾何学的図形は個別であるか、少なくとも幾何学的結論の一般性と比較して非定型的です。使用。次に、さまざまな形式のジオメトリがあり、それらの結論は異なります。したがって、単一の図ベースの推論形式では、すべてに対応することはできません。実際、2つの円が交点を持たない形式(有理座標に制限された平面座標ジオメトリなど)があります。最後に、ダイアグラムベースの推論を完全に打ち負かす空間充填曲線などの幾何学的要素があります。

[...] 研究プロファイルでは、現代の幾何学の一角のみ。しかし、現代世界における数学のフットプリントに関しては、それは現代の数学のほとんどです。ユークリッド、アポロニウス、アルキメデスは事実上誤りがありません。それらのすべての結果には、現代の数学に対応するものがあります...ヒルベルト(1899/1902)とタルスキー(1959)による現代の論理的再構築は、どんなに大きな関心を持っていても、だまされるべきではありません他の点では、そのような説明をしてください [正当化] :古代の幾何学は、現代の論理の恩恵を受けることなく、哲学者が今日非常に高潔に却下することによって、正確に永続的で微妙で強力な結果を達成しましたヒルベルトの洗練された座標領域の制御...ユークリッド図の使用は、数学的理論と形式的証明の概念に暗示されるよりもはるかに豊富な形で、数学的実証的実践に立ち向かうことを強制します...そして非論理的実証的使用の厳密な実証的使用に立ち向かう提案表現。 "

Mozibur Ullah
2020-05-23 19:02:52 UTC
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事実上、ニュートンのプリンシピアを読む人は誰もいませんが、事実上すべての物理学者はニュートンの法則から始めます。幾何学と同様に、彼の本が私たちの目の前になくても、私たちはユークリッドから学びます。今でも。

非ユークリッド幾何学を例にとってみましょう。想像できるように、これはユークリッド幾何学からはほど遠いと思うかもしれません。それでも、それは彼が提案したのとまったく同じフレームワークで考案されました。柱の1つがわずかに変更されただけです。

さらに、Euclidは、分析的、合成的、またはその他の理由で使用される公理的方法を普及させました。そして、その方法は今でも強力になっています-代数的トポロジーにおけるアイレンバーグ・スティーンロッド公理によって与えられた相同性の記述を考慮してください。これは間違いなく幾何学ですが、分析的ですか、それとも合成的ですか?

数学は、他のすべての人間の努力と同様に、多様なモードと方法があり、最初に1つ、次にもう1つ、場合によっては両方に進みます。それらは混合して混合し、次に分離して再び一緒になります。ここでは、弁証法またはサブレーションという用語が適切であると言う人もいるかもしれません。



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