質問:
定規とコンパス問題の可解性と部首による代数方程式の可解性との関係
Nick
2019-06-16 23:01:14 UTC
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ガロアは、平方根の連鎖を抽出することによって代数方程式（1つの変数）を解くための必要十分条件を取得しました。これの美しい応用は、定規とコンパスによる幾何学的問題の解決可能性の問題です。

私の質問は、定規とコンパスの可解性とラジカルによる解法の同等性が最初に特定されたのはいつですか？また、Galoisの結果を最初に適用して、素数 $ p $ span>の辺を持つ正多角形が、 $ p $ span>の形式は $ 2 ^ {2n} + 1 $ span>です。 （ガウスが「if」の部分を証明し、同じ方法を使用して、角の三等分と立方体を2倍にすることが不可能であることを証明できることを私たちは知っています。）

[この原稿]（http://mathforum.org/kb/servlet/JiveServlet/download/13-2257832-7438365-676259）の36〜41ページにある多くの参考文献に答えが見つかると確信しています。 /x%5E17%20=%201.pdf）ですが、今はこれを調べる時間がありません。これらの参照の多くには、オンラインで無料で入手できるデジタル化されたバージョンへのURLがあることに注意してください。
@DaveLRenfroご参照いただきありがとうございます。幸いなことに、私の質問はここで答えられました。興味深い紙ところで。
二 答え:
Conifold
2019-06-17 12:24:03 UTC
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定規とコンパスの構造を代数的にコーディングするというアイデアは、 Supplementum Geometriae （1593）で説明されているように、Vietaには多かれ少なかれ知られていました。Vièteの関連性とオイラーとの関係 aを参照してください。 >。これは、デカルトによって La Geometrie （1637）でさらに開発され、セグメント演算（平方根を含む）を幾何学的に構築するというアイデアも現れています。ガウスは最初に代数/幾何学的対応（いわゆる）を厳密に調査し、幾何学的問題を円分体に関する問題に変換することで、特定の正多角形を円に内接できることを証明しました（1796）。彼は、彼が説明したものだけが構築可能であると主張しましたが、彼のNachlassには証拠がありません。

この証拠は、ガロアの死から5年後、彼の仕事に依存していなかったものの、 1837年にヴァンツェルによって（三等分不可能の証拠とともに）のみ与えられました。 、それはしばらくの間ほとんど知られていませんでした。明らかに、現代の用語では、直定規とコンパスの構造と二次拡張の間の対応は、ヒルベルトのGrundlagen der Geometrie（1899）で証明され、広く利用されています。これは、デカルトのセグメント演算の開発に基づいています。

Alexandre Eremenko
2019-06-17 10:28:18 UTC
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「定規とコンパスの可解性と部首による解法の同等性」はありません。たとえば、 $ 2 $ span>の立方根は明らかに部首ですが、コンパスと定規。ラジカルの構築と可解性の関係は次のとおりです。算術演算と平方根の抽出によって長さが表されるセグメントのみを構築できます。結果はガウスによるものであり、ガロア理論よりも前のものです。コンパスと定規を使用してどの正多角形を作成できるかを完全に決定したのはガウスでした。

参照。 Robin Hartshorne、Geometry：Euclid and beyond、Springer-Verlag、ニューヨーク、2000年。

この結果はガウスによるものではなく、「それら」は彼の前に知られており、「それらだけ」は彼が証明しなかった。ポリゴンを使って、彼はそれらの構築を行いましたが、それらだけが構築可能であることを証明しませんでした。それは1837年にヴァンツェルによって行われました。
1：1の同等性はありませんが、構成可能なa /コンパス定規を代数的に表現できるのではないでしょうか。 （逆ではありません）
ありがとう。はい、関係は平方根との関係であることを理解しています。最初の段落でそれを述べましたが、「ラジカル」を使用して、2番目の部分で少し怠惰になりました。


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